к списку статей
Финансовые задачи
На этой странице вы узнаете
- С помощью какого инструмента можно решить любую экономическую задачу?
- Как сделать “буп” котику и быстро заполнить таблицу?
- Чек-лист: как правильно решать экономические задачи?
Мы ежедневно сталкиваемся с денежными операциями. Покупка вкусняшек, оплата проезда, или приобретение что-то для души — это все финансовые операции. И про кредиты слышали многие из нас. Давайте разберемся, как подходить ко всем этим вопросам математически грамотно.
Финансовые задачи на каждый день
Кредиты берут и на покупку обычных бытовых вещей и на что-то более внушительное, как машина или квартира. В любом случае при обращении в банк за выдачей кредита каждый должен быть готов столкнуться с разными схемами платежей и понятиями процентов.
Про проценты, в том числе сложные проценты или увеличение и уменьшение числа на процент, можно подробнее прочитать в статье «Финансовые задачи. Проценты».
Сейчас мы углубимся в основные схемы погашения кредита. На самом деле, их не так много, а если быть точнее, то всего две. Главное их различие в платежах.
Начнем разбираться в кредитах с аннуитетных платежей.
Аннуитетные платежи
Аннуитетные платежи встречаются достаточно часто. В чем заключается их основная роль? Каждый месяц (или год) сумма выплат одинаковая.
Например, если мы заключим договор с банком, в котором пропишут, что каждый месяц необходимо выплачивать 10 тысяч рублей — это и будет пример аннуитетных платежей.
Аннуитетные платежи — такая система выплат, при которых кредит выплачивается раз в год (или в другой период времени в зависимости от договора) равными платежами.
Главное словосочетание будет “равными платежами”. Вне зависимости от остатка долга, платеж менять не будет.
Разберемся чуть подробнее. Мы знаем, что каждый расчетный период на кредит начисляются установленные проценты. Следовательно, выплачивая кредит по аннуитетным платежам, мы будем одновременно гасить и долг, и процент. Наш платеж будет складываться из процентов, начисленных на долг и самого тела долга.
Также вспомним, что чем больше долг, тем больше начисленный на него процент. Поскольку сама выплата не меняется с течением времени, то в начале основная часть выплаты идет на погашение начисленных процентов, а остаток — на погашение самого долга. Со временем их отношение выравнивается и меняется в обратную сторону.
Схему выплат аннуитетных платежей можно представить следующим образом. На ней видно, что с каждой выплатой уменьшается как сам долг, так и начисленный на него процент.
Как определить, что перед нами задача на аннуитетные платежи?
Нужно посмотреть на некоторые ключевые слова:
- выплаты равны между собой;
- выплаты фиксированные;
- сам долг уменьшается неравномерно.
Рассмотрим задачу на аннуитетные платежи.
Пример 1. Игорь хочет в мае взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года.
— С февраля по май каждого года нужно выплатить часть долга, равную 665,5 тыс. рублей.
На какую сумму хочет взять кредит Игорь, если он был погашен тремя равными платежами?
Решение. Каждый год кредит будет увеличиваться на 10%, поэтому для удобства решения введем коэффициент \(k = 1 + \frac{10}{100} = 1,1\). Обозначим взятый кредит за S, а ежегодную выплату за x=665,5 тыс.
| С помощью какого инструмента можно решить любую экономическую задачу? Большинство экономических задач можно решить с помощью правильно составленной таблицы. В ней можно отразить всю необходимую информацию для решения задачи. Более того: таблицу можно подстраивать под конкретную задачу, поскольку нет определенного шаблона, как ее заполнять. |
Что обычно включается в таблицу:
- остаток на начало периода,
- начисленный процент,
- выплата,
- остаток после выплаты.
Таблица — очень гибкий инструмент. В зависимости от условия задачи она может меняться. Например, выплату можно разбить на два столбика: процентную часть и часть от основного долга.
Чуть подробнее разберем составление таблицы.
Поскольку выплаты фиксированные и равны между собой, мы можем сразу заполнить четвертый столбик:
| Год | Долг без % | Долг с % | Выплата | Остаток |
| 1 | x | |||
| 2 | x | |||
| 3 | x |
Что еще нам известно? То , что долг в начале был равен S, а в самом конце полностью выплачен. Значит на конец периода долг будет равен 0. Заполним соответствующие ячейки:
| Год | Долг без % | Долг с % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | x | ||
| 2 | x | |||
| 3 | x | 0 |
Дальше мы можем найти долг с начисленными процентами в первый год. Для этого нужно долг умножить на коэффициент.
| Год | Долг без % | Долг с % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | 1,1S | x | |
| 2 | x | |||
| 3 | x | 0 |
А теперь решим небольшую задачку: у Маши было 5 яблок. Она отдала два из них подруге. Сколько яблок осталось у Маши?
Без раздумий мы можем сразу сказать, что у Маши осталось 3 яблока. Внимательно посмотрим на таблицу: долг перед банком был 1,1S (5 яблок), после чего погасили его часть, равную х (2 яблока). Какой остаток останется? 1,1S — х.
| Было | Убрали | Получили |
| 5 яблок | 2 яблока | 3 яблока |
| 1,1S | x | 1,1S-x |
Таким образом, с помощью долга, выплаты и остатка можно составить уравнение:
- “Долг с процентами” — “выплата” = “остаток”.
Это же уравнение можно немного варьировать, например:
- “Долг с процентами” — “остаток” = “выплата”.
Этот случай можно использовать, когда нам неизвестна выплата, но известны остальные две величины. - “Остаток” + “выплата” = “долг с процентами”.
Этот случай используется в ситуациях, когда неизвестен первоначальный долг.
В зависимости от условий задачи можно с помощью таблицы всегда выразить неизвестную величину.
| Как сделать “буп” котику и быстро заполнить таблицу? Если в таблице есть столбики “Долг после процентов”, “Выплата” и “Остаток”, то они связаны принципом БУП: Было, Убрали, Получили. С помощью БУП можно выразить либо долг, либо выплату, либо остаток, достаточно составить уравнение (или его вариацию): “Долг” — “Выплата” = “Остаток”. В дальнейшем такую операцию будем называть БУП: Было, Убрали, Получили. |
Заполним нужные ячейки. Сразу заметим, что долг без процентов в начале года будет равен остатку на конец предыдущего года.
| Год | Долг без % | Долг с % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | 1,1S | x | 1,1S-x |
| 2 | 1,1S-x | x | ||
| 3 | x | 0 |
Выполняем такой же алгоритм со вторым годом: начисляем проценты и ищем остаток. Важно заметить, что проценты начисляются на весь остаток, в том числе на переменную “х”.
| Год | Долг без % | Долг с % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | 1,1S | x | 1,1S-x |
| 2 | 1,1S-x | 1,1(1,1S-x) | x | 1,12S-1,1x-x |
| 3 | x | 0 |
И по такой же схеме осталось заполнить только последние две ячейки.
| Год | Долг без % | Долг с % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | 1,1S | x | 1,1S-x |
| 2 | 1,1S-x | 1,1(1,1S-x) | x | 1,12S-1,1x-x |
| 3 | 1,12S-2,1x | 1,1(1,12S-2,1x) | x | 0 |
Вот и все заполнение таблицы, совсем ничего сложного. Нужно немного рассуждений и операций с числами.
Составим итоговое уравнение. Посмотрим на последнюю строчку и вспомним уже выведенную формулу БУП.
Было: 1,1 * (1,12 * S — 2,1x) = 1,13 * S — 2,31 x.
Убрали: “х”.
Получили: 0.
Тем самым мы получаем уравнение: 1,13 * S — 2,31x — x = 0. Осталось только решить его.
1,13 * S — 3,31 x = 0
\(S = \frac{3,31x}{1,1^{3}}\)
Тут уже можно заменить переменные на числа, вспомним, что x=665,5.
\(S = \frac{3,31 * 665,5}{1,331}\)
S = 1655 тыс.
Ответ: 1655 тысяч рублей.
Пример 2. В сентябре 2023 года планируется взять кредит. Условия его возврата таковы:
— В январе каждого года долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года.
— С февраля по сентябрь нужно выплатить часть долга одним платежом.
Известно, что кредит был погашен двумя равными платежами. Найдите, на какую сумму был взят кредит, если сумма его выплат на 136 тыс. больше суммы взятого кредита.
Решение.
1. Для начала введем переменные. S — кредит, х — выплаты в 1 и 2 год, \(k = 1 + \frac{20}{100} = 1,2\) — коэффициент увеличения.
2. Составим таблицу:
| Год | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | 1,2S | х | 1,2S-x |
| 2 | 1,2S-x | 1,2(1,2S-x) | х | 0 |
3. Теперь составим уравнение:
1,2 * (1,2S — x) — x = 0
1,22 * S — 1,2x — x = 0
1,44 * S — 2,2x = 0.
4. Внимательно прочитаем условие и отметим, что сумма выплат на 136 тысяч больше суммы кредита. Как найти сумму выплат? Нужно посмотреть на таблицу. В ней расписаны все наши выплаты, а значит их просто нужно сложить. Получается, что сумма выплат равна 2х.
| Год | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | S | 1,2S | х | 1,2S-x |
| 2 | 1,2S-x | 1,2(1,2S-x) | х | 0 |
Составим еще одно уравнение, опираясь на условие задачи: 2х = S + 136.
5. Мы получили два уравнения. Поскольку нам необходимо найти S, достаточно выразить “х” в одном из них и подставить в другое.
2x = S + 136
x = 0,5 * S + 68
Тогда в уравнении 1,44 * S — 2,2 x = 0 получаем
1,44 * S — 2,2 * (0,5 * S + 68) = 0.
1,44 * S — 1,1 * S — 68 = 0
0,34 * S = 68
S = \(\frac{68}{0,34}\)
S = 200 тыс.
Ответ: 200 тыс. рублей.
Пример 3. Юля хочет взять в кредит 150 тысяч рублей под 10% годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными платежами (кроме последней выплаты). На какое минимальное количество лет Юля должна взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 50 тысяч рублей?
Решение. Нет так быстро. Сначала рассмотрим еще одну логическую задачу, которая поможет в решении.
Маша решила раздать шарики прохожим. Всего у нее 10 шариков. В каком случае большее количество людей получит шарики: если Маша будет раздавать по два или по одному шарику?
Если Маша раздает по одному шарику, то их получит 10 человек. А если по 2, то их получит 5 человек. Чем больше шариков Маша отдает одному человеку, тем меньше людей получит шарики.
В нашей задаче приводятся такие же рассуждения: чем больше выплату будет делать Юля, тем меньше лет она будет выплачивать кредит. То есть ее ежегодная выплата должна иметь максимальное значение, а по условию задачи это 50 тысяч рублей.
1. Составим таблицу. Коэффициент увеличения будет равен \(1 + \frac{10}{100} = 1,1\).
В этой задаче в таблице удобнее сразу считать величины, а не подставлять переменные.
Заполним первую строчку. Долг без процентов равен 150 тысяч, после начисления процентов он будет равняться 150 * 1,1 = 165 тысяч.
Как мы определили выше, выплата должна равняться 50 тысяч. Тогда остаток: 165 — 50 = 115 тысяч.
| Год | Долг без % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 150 | 165 | 50 | 115 |
2. Аналогично считаем и заполняем все следующие строчки до тех пор, пока долг после начисления процентов не станет меньше 50:
| Год | Долг без % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 150 | 165 | 50 | 115 |
| 2 | 115 | 126,5 | 50 | 76,5 |
| 3 | 76,5 | 84,15 | 50 | 34,15 |
| 4 | 34,15 | 37,565 |
3. Заметим, что после этой выплаты есть возможность полностью погасить кредит. Следовательно, остаток будет равен 0.
Тогда выплата равна 37,565 — 0 = 37,565.
| Год | Долг без % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 150 | 165 | 50 | 115 |
| 2 | 115 | 126,5 | 50 | 76,5 |
| 3 | 76,5 | 84,15 | 50 | 34,15 |
| 4 | 34,15 | 37,565 | 37,565 | 0 |
Таким образом, с помощью только таблицы мы решили задачу. Минимальное число лет, на которое Юля может взять кредит — 4 года, что видно из таблицы.
| Год | Долг без % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 150 | 165 | 50 | 115 |
| 2 | 115 | 126,5 | 50 | 76,5 |
| 3 | 76,5 | 84,15 | 50 | 34,15 |
| 4 | 34,15 | 37,565 | 37,565 | 0 |
Ответ: 4.
Дифференцированные платежи
Разобравшись в аннуитетных платежах, следует перейти к дифференцированным. В них также нет ничего сложного.
Главное отличие их от аннуитетных в том, что долг будет уменьшаться на одну и ту же величину.
Дифференцированные платежи — такая система выплат, при которой сумма долга уменьшается равномерно.
В этом случае сумма кредита делится на несколько равных частей, которые выплачиваются банку вместе с начисленными на остаток процентами. Из этих двух частей будет складываться платеж: причем с каждым месяцем (годом) платеж будет уменьшаться, поскольку будет уменьшаться и процент, который начисляется на остаток.
В отличие от аннуитетных платежей, выплаты в дифференцированных платежах не фиксированные. Со временем выплаты будут уменьшаться.
Представим схему выплат дифференцированных платежей. Например, кредит S взяли на 4 года. Следовательно, каждый год он будет уменьшаться на \(\frac{1}{4}\)S часть, а проценты будут начисляться уже на остаток.
Ключевые слова, чтобы определить, что перед нами схема с дифференцированными платежами:
- платежи разные;
- каждый платеж меньше предыдущего;
- долг уменьшается на одну и ту же величину.
Рассмотрим примеры задач на дифференцированные платежи.
Пример 1. Вася взял кредит в банке на сумму 1 млн. рублей под 10% годовых. Условия его возврата таковы:
— После начисления процентов необходимо выплатить часть долга.
— После каждой выплаты долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга до выплаты.
— Кредит должен быть выплачен за 5 лет.
Найдите общую сумму выплат по кредиту.
Решение. Составим таблицу. Для этого введем коэффициент увеличения \(k = 1 + \frac{10}{100} = 1 + 0,1 = 1,1\).
Заметим, что кредит взят на 5 лет, а сумма долга уменьшается равномерно. Следовательно, каждый год долг должен уменьшаться на \(\frac{1}{5}\) = 0,2 млн. рублей.
Таким образом мы можем заполнить последний столбик таблицы: достаточно просто вычитать каждый год из долга 0,2 млн рублей. Также мы сразу можем заполнить второй столбик таблицы, для этого достаточно переносить данные из последнего столбика.
| Год | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 1 | 1-0,2=0,8 | ||
| 2 | 0,8 | 0,6 | ||
| 3 | 0,6 | 0,4 | ||
| 4 | 0,4 | 0,2 | ||
| 5 | 0,2 | 0 |
Теперь, зная долг до процентов, мы можем узнать долг после процентов:
| Год | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 1 | 1,1 | 1-0,2=0,8 | |
| 2 | 0,8 | 0,88 | 0,6 | |
| 3 | 0,6 | 0,66 | 0,4 | |
| 4 | 0,4 | 0,44 | 0,2 | |
| 5 | 0,2 | 0,22 | 0 |
Осталось найти выплату. А для этого мы можем использовать все тот же БУП.
| Год | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток |
| 1 | 1 | 1,1 | 1,1-0,8 = 0,3 | 1-0,2=0,8 |
| 2 | 0,8 | 0,88 | 0,88-0,6 = 0,28 | 0,6 |
| 3 | 0,6 | 0,66 | 0,66-0,4 = 0,26 | 0,4 |
| 4 | 0,4 | 0,44 | 0,44-0,2 = 0,24 | 0,2 |
| 5 | 0,2 | 0,22 | 0,22-0 = 0,22 | 0 |
Осталось найти сумму выплат, для этого нужно сложить все выплаты, которые были произведены по кредиту:
0,3 + 0,28 + 0,26 + 0,24 + 0,22 = 1,3 млн. рублей.
Ответ: 1,3 млн. рублей.
На примере этой задачи составим схему того, как выплачивался кредит. Она поможет нагляднее понять, как работает схема выплат при дифференцированных платежах.
Пример 2. Лиза взяла кредит в банке на 12 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1 числа каждого месяца долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Какая сумма была взята в кредит, если известно, что 11 платеж составил 165 тысяч рублей?
Решение. Пусть S — кредит. Отметим, что кредит каждый месяц будет уменьшаться на \(\frac{S}{12}\).
В этот раз составим немного другую таблицу, а именно разобьем выплату на проценты и основную часть от долга. Также таблица на 12 месяцев слишком большая (а в задачах могут встретиться таблицы еще больше), поэтому мы будем рассматривать только первые два и последние три месяца.
Сразу заполним все данные, которые нам известны.
| Месяц | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток | |
| Процентная часть | Основная часть | ||||
| 1 | S | S12 | 11S12 | ||
| 2 | 11S12 | S12 | 10S12 | ||
| … | |||||
| 10 | 3S12 | S12 | 2S12 | ||
| 11 | 2S12 | S12 | S12 | ||
| 12 | S12 | S12 | 0 |
Теперь будем начислять процент. Введем переменную \(k = \frac{5}{100}\). Заметим, что это не коэффициент увеличения, а значит долг после начисления процентов будет состоять из основной части и процентной. Заполним третий столбик:
| Месяц | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток | |
| Процентная часть | Основная часть | ||||
| 1 | S | S+kS | S12 | 11S12 | |
| 2 | 11S12 | 11S12+k*11S12 | S12 | 10S12 | |
| … | |||||
| 10 | 3S12 | 3S12+k*3S12 | S12 | 2S12 | |
| 11 | 2S12 | 2S12+k*2S12 | S12 | S12 | |
| 12 | S12 | S12+k*S12 | S12 | 0 |
Чтобы закончить заполнение таблицы, вспомним БУП и найдем, чему будет равна процентная часть выплаты.
Было: S + k * S
Убрали: \(x + \frac{S}{12}\)
Осталось: \(\frac{11S}{12}\)
Тогда получаем: \(S + k * S — (x + \frac{S}{12}) = \frac{11S}{12}\)
\(S + k * S — x — \frac{S}{12} = \frac{11S}{12}\)
\(\frac{11S}{12} + k * S — x = \frac{11S}{12}\)
x = k * S — это данные для четвертого столбика. Найти остальные ячейки можно таким же способом, но проще будет переносить процентную часть из третьего столбика.
| Месяц | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток | |
| Процентная часть | Основная часть | ||||
| 1 | S | S+kS | kS | S12 | 11S12 |
| 2 | 11S12 | 11S12+k*11S12 | k*11S12 | S12 | 10S12 |
| … | |||||
| 10 | 3S12 | 3S12+k*3S12 | k*3S12 | S12 | 2S12 |
| 11 | 2S12 | 2S12+k*2S12 | k*2S12 | S12 | S12 |
| 12 | S12 | S12+k*S12 | k*S12 | S12 | 0 |
Таблица составлена. Осталось найти, чему равен 11 платеж. Для этого нужно найти выплату в 11 месяц, а значит сложить эти ячейки:
| Месяц | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток | |
| Процентная часть | Основная часть | ||||
| 1 | S | S+kS | kS | S12 | 11S12 |
| 2 | 11S12 | 11S12+k*11S12 | k*11S12 | S12 | 10S12 |
| … | |||||
| 10 | 3S12 | 3S12+k*3S12 | k*3S12 | S12 | 2S12 |
| 11 | 2S12 | 2S12+k*2S12 | k*2S12 | S12 | S12 |
| 12 | S12 | S12+k*S12 | k*S12 | S12 | 0 |
Получаем \(k * \frac{2S}{12} + \frac{S}{12} = 165\)
Подставляем вместо коэффициентов известные величины и решаем уравнение.
\(\frac{S}{12} * (2k + 1) = 165\)
\(\frac{S}{12} * (2 * 0,05 + 1) = 165\)
S * (0,1 + 1) = 1980
1,1 * S = 1980
S = 1800 тыс.
Ответ: 1800 тысяч рублей.
Пример 3. В октябре планируется взять кредит на сумму 15 млн рублей на целое число лет. Условия его возврата таковы:
— Каждый март долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего месяца.
— С марта по октябрь необходимо выплатить часть долга.
— В октябре каждого года долг будет на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года.
На сколько лет планируется взять кредит, если сумма выплат после его полного погашения составила 22,5 млн рублей?
Решение. Пусть k = \(\frac{10}{100}\), S = 15 млн — кредит, n — количество лет, на которое взят кредит.
Заметим, что каждый год долг будет уменьшаться на \(\frac{S}{n}\) лет.
1. Составим таблицу. Поскольку нам неизвестно количество лет, рассматриваться будут только первые два и последние два года.
| Месяц | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток | |
| Процентная часть | Основная часть | ||||
| 1 | S | S+ks | kS | Sn | S-Sn=n-1nS |
| 2 | n-1nS | n-1nS+k*n-1nS | k*n-1nS | Sn | n-2nS |
| … | |||||
| n-1 | 2nS | 2nS+k*2nS | k*2nS | Sn | 1nS |
| n | 1nS | 1nS+k*1nS | k*1nS | Sn | 0 |
Сумма выплат — это сумма всех платежей, которые были внесены за кредит.
В таблице это будет сумма этих ячеек. Отметим, что между 2 и n-1 месяцем есть еще все оставшиеся выплаты, которые просто не прописаны в таблицы. Эти выплаты также обязательно учесть в уравнении.
| Месяц | Долг до % | Долг после % | Выплата | Остаток | |
| Процентная часть | Основная часть | ||||
| 1 | S | S+ks | kS | Sn | S-Sn=n-1nS |
| 2 | n-1nS | n-1nS+k*n-1nS | k*n-1nS | Sn | n-2nS |
| … | |||||
| n-1 | 2nS | 2nS+k*2nS | k*2nS | Sn | 1nS |
| n | 1nS | 1nS+k*1nS | k*1nS | Sn | 0 |
2. Составим уравнение:
\(kS + \frac{S}{n} + k * \frac{n — 1}{n}S + \frac{S}{n} + … + k * \frac{2}{n}S + \frac{S}{n} + k * \frac{1}{n}S + \frac{S}{n} = 22,5\)
Немного по-другому сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобку:
\(kS * (1 + \frac{n-1}{n}+ … + \frac{2}{n} + \frac{1}{n}) + n * \frac{S}{n} = 22,5\)
\(kS * (\frac{n}{n} + \frac{n-1}{n} + … + \frac{2}{n} + \frac{1}{n}) + S = 22,5\)
3. Заметим, что в скобках осталась арифметическая прогрессия, а нам необходимо найти ее сумму. Подробнее про арифметические прогрессии можно прочитать в статье «Арифметическая прогрессия».
Сейчас сразу применим формулу суммы арифметической прогрессии:
\(kS * (\frac{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}{2}*n) + S = 22,5\)
\(kS * ((\frac{n + 1}{n} * \frac{1}{2}) * n) + S = 22,5\)
\(kS* \frac{n + 1}{2}+ S = 22,5\)
4. Заменим переменные на известные величины:
\(0,1 * 15 * \frac{n + 1}{2} + 15 = 22,5\)
\(1,5 * \frac{n + 1}{2} = 7,5\)
1,5 * (n + 1) = 15
n + 1 = 10
n = 9
Ответ: 9 лет.
Мы рассмотрели задачи на аннуитетные и дифференцированные платежи. Подведем небольшой итог и сравним эти платежи.
| Аннуитетные платежи | Дифференцированные платежи | |
| Выплаты | Выплаты равны между собой | Выплаты со временем уменьшаются |
| Как уменьшается долг | Неравномерно | Равномерно |
| Из чего складывается выплата | Начисленные на остаток проценты и часть от долга. В первое время выплачиваются в основном проценты, а долг лишь малой частью. Со временем в основном будет выплачиваться долг. | Начисленные на остаток проценты и часть от долга. Долг выплачивается равными частями. |
| График выплат |  |  |
| Чек-лист: как правильно решать экономические задачи? Чтобы решение задач было удобным и быстрым, необходимо следовать алгоритму: 1. Определить, какая схема выплат представлена в задаче. 2. Ввести все нужные переменные. Обязательно указать, что обозначает каждая переменная. 3. Составить таблицу или схему выплат. В таблице необходимо отразить все условия, которые приведены в задаче. 4. Составить итоговое уравнение или неравенство на основе таблицы или схемы. 5. Решить полученное уравнение или неравенство и найти ответ. |
Если придерживаться приведенного выше чек-листа, можно решить экономическую задачу на любую схему выплат.
Фактчек
- С кредитами мы встречаемся не только в математике, но и в реальной жизни. Для их выплат существуют две основные схемы: аннуитетная и дифференцированная.
- Аннуитетные платежи — такая система выплат, при которых кредит выплачивается раз в год (или в другой период времени в зависимости от договора) равными платежами. Аннуитетные платежи фиксированные и равны между собой. А долг уменьшается неравномерно.
- Дифференцированные платежи — такая система выплат, при которой сумма долга уменьшается равномерно. В этом случае долг будет уменьшаться равномерно, а вот платежи будут различными. Каждый новый платеж будет меньше предыдущего.
- Для решения задач необходимо научиться составлять таблицы и уравнения на основе данных в условии. Также для решения можно пользоваться чек-листом, чтобы точно ничего не упустить.
Проверь себя
Задание 1.
Как уменьшается долг при аннуитетных платежах?
- равномерно;
- неравномерно;
- на одинаковую величину каждый расчетный период;
- долг не уменьшается.
Задание 2.
Как уменьшается долг при дифференцированных платежах?
- равномерно;
- неравномерно;
- на различную величину каждый расчетный период;
- долг не уменьшается.
Задание 3.
Из чего складывается выплата?
- Выплачивается только долг.
- Выплачиваются только проценты.
- Выплата складывается из части долга и процентов, начисленных на остаток.
- Выплата всегда складывается из части долга и процентов, начисленных на весь долг.
Задание 4.
Что такое сумма выплат?
- Это сумма всех процентов, начисленных на кредит.
- Это сумма долга.
- Это последний платеж, который был внесен за кредит.
- Это сумма всех платежей, внесенных за кредит.
Задание 5.
Для какой системы выплат характерны равные платежи?
- дифференцированная;
- аннуитетная;
- и дифференцированная, и аннуитетная;
- ничего из перечисленного выше.
Ответы: 1. — 2 2. — 1 3. — 3 4. — 4 5. — 2
