Метод упрощающего значения

На этой странице вы узнаете: 

• Что такое метод упрощающего значения и в чем он заключается?
• Как применять метод упрощающего значения?
• Почему после нахождения решений нужно делать проверку?
• Что будет, если не сделать проверку?

Метод упрощающего значения

Метод упрощающего значения является одним из методов решения задач с параметром. Его можно использовать, когда параметр никак не ограничен, то есть рассматриваются все значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. Данный метод заключается в подборе такого значения параметра, чтобы далее было удобно упростить и получить стандартное уравнение или неравенство, тем самым ограничивая число возможных решений.

После нужно обязательно проверить все ли найденные решения действительно являются решениями при любых возможных значениях параметра а. Это можно сделать, подставив найденные значения в изначальное уравнение и решив его. Если оно станет эквивалентно равенству 0 = 0, тогда такое значение является решением при всех возможных параметрах а, иначе оно будет верно только для а, которое было подобрано на этапе упрощения.

Давайте рассмотрим решение уравнения с параметром этим способом.

Существуют ли такие значения х, при которых следующее равенство выполняется при любых значениях а?

2(x) = 5

Так как данное равенство должно выполняться при любом значении а, то и для какого-то х оно будет выполняться, если а будет равно 0. Давайте найдем все такие значения х.

2x = 5

Занесём 2 в степень аргумента логарифма по свойству логарифма и добавим ограничение на изначальный аргумент левого логарифма, потому что внесение четного числа в степень аргумента может расширить область допустимых значений. 

Совершим равносильный переход от логарифмического уравнения к квадратному.

Найдем корни уравнения и решим неравенство.

Так как х должен быть не только корнем уравнения, но и удовлетворять условию системы, что х>0, отбросим корень -5 и убедимся, что второй корень подходит под оба условия. 

Теперь нужно рассмотреть оставшееся значение х. Все остальные х не подходят при а = 0, а значит при любом другом а тоже не подходят.

Давайте подставим найденное х в исходное выражение.

Занесём степень 2 в аргумент логарифма.

Получим логарифмы с разными основаниями и одинаковыми аргументами, так как получившееся равенство не обращается в 0 = 0, x=5 подходит только при а = 0. Итак, сделаем вывод, что у данного уравнения нет таких значений х, при которых равенство выполнялось бы при любых значениях а.

Давайте рассмотрим еще один пример, но уже с тремя переменными.

Найдите все значения у, для которых при любых значениях а верно равенство

Сначала раскроем скобки

Заметим, что в слагаемых с параметром а можно вынести его за скобку и свернуть оставшуюся часть по формуле квадрата разности

Возьмём а = 0, если для любого а верно данное уравнение, значит оно будет верно и для нуля, первое слагаемое обнулится и останется уравнение с одной неизвестной

Из этого уравнения найдём у

y = 2 или y = -2

Так как у находится в модуле, то это слагаемое будет всегда 2, тогда перенесём два слагаемых вправо и вычтем

Заметим, что или а равно 0, или (х-2)², подберём такой х, чтобы параметр а мог принимать любое значение. Х = 2 

Сделаем проверку для пар решений х = 2 и у = 2, х = 2 и у = -2, подставим их в изначальное уравнение

a(2-2)²+2+|2|=4  и  a(2-2)²+2+|2|= 4

0=0 и 0=0

Сделаем вывод, что значения 2 и -2 подходят, а значит и являются ответом к данному заданию с параметром

Примеры выше показывают, как решать такие задачи с параметром, применяя метод упрощающего значения.

Фактчек

Выше был рассмотрен метод упрощающего значения.

• Он уникален тем, что позволяет свести уравнение или неравенство к стандартному, чем упрощает последующее решение заданий с параметром, в которых параметр может принимать любое значение.
• Применяя этот метод, нужно сначала подобрать значение параметра, при котором уравнение или неравенство упростится, найти решения, а далее сделать проверку, чтобы исключить решения, подходящие только для подобранного во время упрощения значения параметра.

Проверь себя

Задание 1.
Когда применяется метод упрощающего значения?

1) Если одна из частей уравнения равна нулю
2) Если нужно найти параметр а, при котором ровно одно решение
3) Если нужно найти значения для равенства, которое верно при любых а
4) Если в задание дано квадратное уравнение

Задание 2.
Какому равенству эквивалентно равенство, решенное при проверке корней?

1) x=1
2) 0=0
3) x=x
4) x=y

Задание 3.
На какое значение нужно заменять параметр, когда используете метод упрощающего значения?

1) На 1
2) На любое
3) Только на 0, ведь так можно избавиться от переменной
4) На удобное для упрощения, для каждого случая может быть разным

Задание 4.
Существуют ли такие значения х, при которых следующее равенство выполняется при любых значениях а
2a+x=a+x2+4

1) Да, x=4
2) Да, х=2
3) Нет, не существует
4) Да, х= -2

Задание 5.
Найдите все значения x, для которых при любых значениях а верно равенство: ax+5×2=2x

1) x=0
2) х=2
3) х= 2 и х= 4
4) х= 4

Ответы: 1. — 3; 2. — 2; 3. — 4; 4. — 3; 5. — 1.