Действия с числами

На этой странице вы узнаете:

• Решать последовательно нельзя менять местами.  
• Как выполнять действия с числами разных знаков? 
• В каких случаях правильно будет пойти против правил? 

Что будет, если сначала надеть куртку, а после свитер? Или поставить выпекаться тесто, а потом его перемешать? Нарушение порядка действий влечет за собой плачевный результат.

Порядок выполнения действий с числами

В математике, как и в жизни, почти не встречаются вычисления в одно действие. Ошибка в последовательности счета приводит к неверному ответу.

1. Если в примере только сложение или вычитание, то действия выполняются в порядке слева направо. 

Например, 

1. Сначала складываем 17 и 2, получаем 19 — 9 + 4. 
2. Теперь вычитаем 9 из 19 и получаем 10 + 5.
3. Складываем полученные числа: 10 + 5 = 15.

Если в примере только умножение или деление, то действия выполняются в порядке слева направо 

1. Сначала умножаем 2 на 4, получаем 8 : 8 * 7.
2. Делим 8 на 8, получаем 1 * 7. 
3. Умножаем 1 на 7: 1 * 7 = 7. 

Получаем: 2 * 4 : 8 * 7 = 8 : 8 * 7 = 1 * 7 = 7

Для дальнейших рассуждений необходимо ввести новые понятия:

Действия первой ступени — это сложение и вычитание, которые выполняются слева направо. 

Действия второй ступени — это умножение и деление, которые выполняются слева направо.

2. Если в примере встречается действия и первой, и второй ступени, то для вычислений необходимо пользоваться следующим порядком: 

• Сначала выполняются действия второй ступени по порядку слева направо.
• После выполняются действия первой ступени по порядку слева направо.

Например,   

 2 + 3 * 4 — 5 * 2 + 17 = 2 + 12 — 10 + 17 = 14 — 10 + 17 = 4 + 17 = 21. 

Рассмотрим порядок выполнения арифметических действий в выражениях со скобками. 

3. Если в примере появляются скобки.

• Сначала считаются действия в скобках. При этом соблюдается такой же порядок, как и в выражениях без скобок, то есть сначала действия второй ступени, а после — первой. 
• После выполняются действия вне скобок, сохраняя правильный порядок счета. 

Например,
20 — 3 + (4 * 8 — 2 * 3) + 3 * 6 = 
= 20 — 3 + (32 — 6) + 3 * 6 = 
= 20 — 3 + 26 + 3 * 6 = 
= 20 — 3 + 26 + 18 = 
= 17 + 26 + 18 = 
= 43 + 18 = 61. 

Если в выражении появляется скобка в скобке, то сначала выполняются действия во внутренней скобке, а после – во внешней: 

1 + (12 — 3 * 2 + (24 — 3 * 6)) = 
= 1 + (12 — 3 * 2 + (24 — 18)) = 
= 1 + (12 — 3 * 2 + 6) = 
= 1 + (12 — 6 + 6) = 
= 1 + 12 = 13. 

4. Если в выражении появляются степени, корни или другие функции. 

• Сначала считаются значения функций. 
• Дальше вычисляются значения в скобках, сохраняя правильный порядок счета.
• Потом выполняются действия вне скобок, сохраняя правильный порядок счета. 

Например,
2³  + 12 — √4 — 2 * 3 = 
= 8 + 12 — 2 — 2 * 3 = 
= 8 + 12 — 2 — 6 = 
= 20 — 2 — 6 = 
= 18 — 6 = 12. 

Решать последовательно нельзя менять местами.   Если решать пример в неправильном порядке действий, то верный ответ не получится. Именно поэтому “Решать последовательно, нельзя менять местами”.  Действия в выражениях выполняются в следующем порядке: 1.Вычисление значений функций; 2. Вычисление значений в скобках; 3.Вычисление значение вне скобок. При этом, если в примере  — и умножение с делением (действия второй ступени), — и сложение с вычитанием (действия первой ступени),  то сначала выполняются действия второй ступени, а после действия первой ступени.

Действия с числами разных знаков

Для подробного разбора этой темы необходимо ввести понятие абсолютной величины или модуля числа. 

Рассмотрим числовую прямую и числа на ней: 

• положительные числа будут расставляться в порядке возрастания слева направо, 
• отрицательные числа, напротив, будут уменьшаться справа налево. 

Можно представить, что мы подставляем к 0 зеркало, тогда в нем в обратном порядке отображаются положительные числа, но с отрицательным знаком, то есть они зеркально повторяют положительную часть прямой. 

Рассмотрим числа -4 и 4. Относительно ноля они лежат на одинаковом расстоянии (четыре условных единицы, отложенные влево и вправо). 

Отсюда мы можем вывести определение модуля — это расстояние от начала координат (ноля) до точки. Модуль обозначается двумя вертикальными палочками. 

Тогда |4| = 4, и |-4| = 4. 

Теперь мы можем рассмотреть действия с числами разных знаков. 

Сложение

Если мы складываем числа с одинаковым знаком, то складываются их абсолютные величины, а перед суммой ставится общий знак. 

Например, 3 + 2 = 5, -3 + (-2) = -5. 

Если мы складываем числа с разными знаками, то из абсолютной величины большего из них вычитается абсолютная величина меньшего, а перед разностью ставится знак числа с большей абсолютной величиной. 

Например, -5 + 3 = -(5 — 3)= -2; -4 + 10 = 6.

Вычитание 

Для удобства счета вычитание можно заменить сложением, при этом уменьшаемое сохраняет знак, а вычитаемое его меняет. 

Например, 10 — (+12) = 10 + (-12) = -2 или 6 — (-3) = 6 + 3 = 9. 

Умножение и деление 

При умножении умножаются абсолютные величины чисел. 

При делении абсолютная величина одного числа делится на абсолютную величину другого числа. 

При этом для определения знака необходимо воспользоваться следующими правилами:

1. Произведение и частное одинаковых знаков будет положительным (плюс на плюс дают плюс; минус на минус дают плюс) 

2. Произведение и частное чисел с разными знаками будут отрицательными (плюс на минус дают минус; минус на плюс дают минус) 

Для удобства запоминания можно воспользоваться следующей таблицей:

Умножение	Деление
+ *  + = +	+ : + = +
+ * — = —	+ : — = —
— * + = —	— : + = —
— * — = +	— : — = +

Например,
3 * (-2) = -6
8 : 4 = 2
(-10) : 5 = -2
 (-4) * (-7) = 28.

Как выполнять действия с числами разных знаков? Для сложения: 1. Из абсолютной величины большего числа вычитается абсолютная величина меньшего числа; 2. В ответе ставим знак числа с большей абсолютной величиной. Для вычитания: 1. Вычитание можно заменить сложение, при этом вычитаемое меняет знак; 2. Решаем пример со сложением чисел разных знаков.  Для умножения и деления:  1. Умножаются абсолютные величины чисел, либо абсолютная величина одного числа делится на абсолютную величину другого числа; 2. Определяем знак по правилам.

Округление чисел

В реальной жизни нам нередко встречаются неточные значения, и для удобства мы заменяем их приблизительными, то есть значениями, наиболее близкими к нужным. Например, часто можно услышать фразы “почти 7 килограмм”, “чуть больше часа”, “около 100 градусов”. Эти выражения подразумевают, что в этих числах существует некоторая погрешность, которая не учитывается. 

Чтобы понять, как округлять числа, необходимо немного подробнее разобрать их состав. Большие числа можно разбить на единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д. Например, в числе 2309 две тысячи, три сотни, ноль десятков и девять единиц. 

Положение (позиция) каждой цифры в записи числа называется разрядом. 

В целых числах разряды увеличиваются справа налево (единицы, десятки, сотни и т.д.).

В дробной записи числа разряды уменьшаются слева направо (десятые, сотые, тысячные и т.д.) 

Например, в числе 249,0836:

• 2 относится к разряду сотен;
• 4 — к десяткам;
• 9 — к единицам;
• 0 — к десятым;
• 8 — к сотым;
• 3 — к тысячным;
• 6 — к десятитысячным. 

При делении чисел мы не всегда получаем точные значения, например, 2 не делится на 3. Но мы можем воспользоваться округлением, если невозможно достичь полной точности или она не нужна. 

Приближенное значение числа — это число, полученное при округлении. 

Округление – это операция, когда мы меняем число на его приближенное значение. При этом округлить можно до любого разряда. 

Чтобы округлить число до какого-либо разряда, необходимо записать число на один разряд правее, после чего округлить его по правилам. 

• Если после нужного для округления разряда стоят цифры 0, 1, 2, 3 или 4, то цифра в разряде не меняется и остается прежней. 

• Если после нужного для округления разряда стоят числа 5, 6, 7, 8 или 9, то цифра в разряде увеличивается на единицу. 

Округление до целых 
Чтобы округлить число до целых значений, необходимо узнать значение только одной цифры после запятой (то есть цифру, стоящую в разряде десятых), а после воспользоваться правилами округления. 

Например, при округлении числа 3,4 до целых получится 3, а при округлении 3,7 получится 4. 

Округление до десятых 
Чтобы округлить число до десятых, необходимо узнать две цифры после запятой, а после округлить число до одной цифры после запятой по правилам. 

Например, 67,22 при округлении даст 67,2, а 67,29 ≈ 67,3. 

Округление до сотых
Чтобы округлить число до сотых, необходимо узнать значение трех цифр после запятой, а после округлить число до двух цифр после запятой по правилам. 

Например, при округлении числа 140, 225 получится 140,23, а 140,221 ≈ 140,22. 

Пользуясь этим алгоритмом, можно округлить число до любого нужного разряда.

Округление с недостатком — это округление числа в меньшую сторону. 

Например, округлением с недостатком будет 4,072 ≈ 4,07

Округление с избытком — это округление числа в большую сторону. 

Например, округлением с избытком будет 79,28 ≈ 79,3. 

Округление с недостатком и избытком может использоваться для решения текстовых задач, при этом не всегда получается пользоваться правилами для округления с числами. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Апельсины стоят 95 рублей за килограмм. Сколько килограмм апельсинов можно купить на 361 рубль? 

Решение. Разделим 361 на 95, получаем: 361:95=3,8. То есть на всю сумму можно будет купить 3 килограмма и 800 грамм апельсинов. Однако в задаче спрашивается только про килограммы, поэтому на 361 рубль можно будет купить только 3 килограмма апельсинов. 

Ответ: 3. 

В решении получилось число 3,8, и по правилам мы должны были округлить его до 4. Однако на 4 килограмма у нас уже не хватило бы денег, поэтому тут применяется округление с недостатком. 

Пример 2. В жилом доме пять подъездов. В каждом подъезде по 20 квартир. Саша живет в 68 квартире. В каком подъезде живет Саша? 

Решение. Разделим 68 на 20: 68:20=3,4. Тогда 68 квартира будет располагаться в  четвертом подъезде, поскольку в трех подъездах будет всего 60 квартир, значит еще восемь располагаются в следующем подъезде. 

Ответ: 4. 

Несмотря на то, что в решении получилось число 3,4, мы воспользовались округлением с избытком из-за ситуации в самой задаче. 

В каких случаях правильно будет пойти против правил?   При действиях с обычными числами обязательно пользоваться правилами.  Но иногда при решении задач на округление необходимо пользоваться не правилами, а логикой: если в описанной в задаче ситуации невозможно округлить в большую или меньшую сторону, то округлять нужно так, чтобы ситуация была выполнимой.

Фактчек

• Если в задании встречается выражение в несколько действий, то сначала считаются значения функций, после значения в скобках и в конце значения вне скобок (при этом сначала вычисляются действия второй ступени, а потом действия первой ступени). 
• Чтобы  посчитать значение действия с числами разных знаков, необходимо воспользоваться абсолютной величиной числа и правильно определить знак в ответе. 
• Иногда невозможно (или не нужно) получить точное значение числа, в этом случае можно воспользоваться округлением. 
• Округление в большую сторону называется округлением с избытком, а в меньшую — с недостатком. 

Проверь себя

Задание 1. 
В каком порядке выполняются действия в выражениях с числами?Какое действие выполняется первым в примере 7+36-5*(29+8:4)-3*43+27*9:6?

1. 8:4;
2. 7+36; 
3. 43; 
4. 29+8. 

Задание 2. 
Выберите верно решенный пример. 

1. 6*7=42;
2. 81:9=-9; 
3. (-3)*4=12; 
4. (-7):(-1)=-7.

Задание 3. 
Выберите верно решенный пример.

1. -3-2=5; 
2. 21-5=-16; 
3. -2-(+34)=36;
4. 42-50=-8. 

Задание 4.
Какое число будет округляться в большую сторону при округлении до сотых?

1. 6,7842;
2. 27,89076;
3. 1,2654;
4. 5,461. 

Задание 5.
Какое число будет округляться в меньшую сторону при округлении до целых? 

1. 28,52; 
2. 101,034; 
3. 36,98;
4. 486,607. 

Ответы: 1. — 3 2. — 1 3. — 4 4 — 3 5. — 2